金年会6.2 模型 1 的运用与求解 在计算利润最大可以转化成求总的花费最小， 又因为销售费用和生产 量无关，为了简化计算，将销售费用也设为定值。所以上述模型可转 化成求如下动态规划模型：

　　（1）时间分为 6 个月，每个月有 30 天； （2）在六个月内推土机性能都不会发生变化； （3）在月尾也就是在每月的 30 号完成该月的销售和交货； （4）生产中的固定成本一定； （5）每月的销售量一定为预测的销售量，所以 6 个月的销售总量一 定，建材的上涨比例也一定正确； （6）推土机要求在 6 月份全部销售完； （7）只要当月有推土机未出售，就算贮存费用。 （8）所有的生产线在工作时不产生重大事故影响正常生产。

　　本改善，预计今年上半年建材的价格仍会有一定的增长。预计的增长 速度（以 2010 年 12 月的价格为基准）见下表：

　　该厂希望在上半年就把生产的推土机全部销售完， 为使利润最大 化金年会，需要制定出从 2011 年 1 月到 6 月每月的生产计划（即每月完成 多少台） 。 （1）如果该厂的月生产能力没有限制，并且允许期货（即尚未下线 的推土机）销售，但在 6 月底前要全部完成交货，如何制定月生产计 划？ （2）如果该厂每月的生产能力限于 33 台，并且允许期货（即尚未下 线的推土机）销售，但在 6 月底前要全部完成交货，又该如何制定月 生产计划？

　　在一段时间内，工厂生产产品，就是为了把产品销售出去，然后 得到盈利或者亏本，而盈利和亏本的或多或少，由很多因素决定，每 个工厂都想在这段时间内获得最大经济效益而不想亏本， 即使工厂在 这段时间内是亏本的，也想亏的最少。所以在推土机的生产和销售过 程中为了获得最大的利润， 我们就对推土机的生产和销售给出以下的 分析，同时给出了生产和销售的方案。

　　利用贝尔曼方程的最优化原理与嵌入原理， 以下就是分别利用ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ向递 推和顺向递推的方法解出方程 (1) 逆向递推求解贝尔曼基础方程 (1)

　　厦门市某重型机械厂通过对历史资料进行回归分析（即数据拟 合） ，并给合今年上半年可能出现的影响推土机销售的因素，预测该 厂 2011 年上半年的销售情况如下表所示：

　　xi ：表示每个月的生产量，单位为台； li ：表示每个月的销售量，单位为台； ni ：表示第 i 月底还剩的机器台数； i =0…6;

　　p0 ：表示 2010 年 12 月末尚有 p0 台未售出。 p ：每台的销售价格；

　　k1 ：可变成本（万元）与推土机生产台数的平方成正比的比例系数； k 2 ：该厂生产的推土机平均每台每月的贮存费为 0.1 万元；

　　该厂的推土机 2010 年 12 月的销售均价为 48 万元/台， 今年上半 年的售价保持不变。2010 年 12 月末尚有 49 台未售出。推土机从计 划生产到售出会发生下列费用： （1）生产成本 生产成本，包括固定成本（主要 生产成本 是指厂房、机器设备的折旧）和可变成本（钢材、其他材料和人工成 本等，其中人工成本在可变成本中占到大约 40%） ，按照 2010 年 12 月份的建材价格计算，可变成本（万元）与推土机生产台数的平方成 正比，比例系数为 0.5。且可变成本与建材价格上涨幅度有关，例如 建材价格上涨 10%， 则可变成本是按前面方法计算结果的 1.1 倍。 （2） 销售费用，与当月的销售金额成正比。 （3）贮存费 贮存费，生产出的推土机 销售费用 贮存费 未售出的必须贮存，即该厂生产的推土机平均每台每月的贮存费为 0.1 万元。 2010 年以来，央行和发改委出台了一系列措施平抑建材价格， 但由于对建材需求结构而言， 总体上求大于供的市场状况没有得到根

　　f i ：第 i 月生产出的推土机所需的可变成本； H i ：第 i 月未售出的推土机量所需贮存的费用； Ri ：第 i 月由于建材价格上涨，使可变成本多增加的倍数;

　　6.1 模型 1 的建立 该厂希望在上半年就把生产的推土机全部销售完，为使利润最大 化，必须使生产和销售相符，而且使成产成本和销售费用以及贮存费 用最小。 因为：销售额=每台机器的销售价格×所销机器的台数； 生产成本=固定成本可变成本； 销售费用=当月销售金额× ai ； 贮存费=需要贮存的台数×每台每月的贮存费；

　　模型中约束条件的说明： 因为第 i 月生产的推土机加上上个月底售不出的推土机就是为这 ，由于在这个月 个月总的推土机（台） （即为第 i 个月总共的推土机） 售出的推土机为 li ，所以到了这个月底还有的推土机为： ni 其中 n0 表示第一个月初就有推土机（即为 2010 年 12 月底没售 出的推土机） n6 =0 是因为在第 6 个月底就要把所有的推土机都售出， ， 即没有剩下的推土机，所以第 7 个月初就没有推土机. 运用灰色关联式分析对于一个系统发展变化态势提供了量化的 度量，非常适合动态历程分析，这时本题就转换为求解下列非线性规 划模型： 决策变量： xi 表示第 i 个月推土机计划生产的机数 用 （i=1,2,3,4,5,6） 显然它们应当是非负整数金年会。 约束条件：为了满足该厂实现利润最大的要求

　　问题 1：目的是在实现利润最大的同时给出生产计划。公司上半年生 产的推土机都要售完，其中销售收入是固定的，和月进度计划是无关 的，可以直接计算。销售费用与当月的销售金额成正比，而与生产计 划无关。固定费用是固定的支出，可以设为一个定值。而生产成本中 的人工成本也是固定的。 唯一可变的是推土机的贮存费用和收生产材 料影响的可变成本。所以最大利润就等于销售总金额-(成产成本销 售费用贮存费用)。 问题 2：由于多了一个约束条件该厂每月的生产能力限于 33 台，模 型的建立与问题 1 的一样。在问题 1 求解基础上，因为上面的结果已 使得盈利最大， 现在只需要将大于生产能力的月份的工作分给别的月 份去做，使分的时候盈亏达到最小，从而盈利可以得到最大。

　　在市场经济的今天， 我们很多企业必须根据市场的供求关系来确 定一个季度或一个月的生产计划以确保企业既不出现库空也不出现 堆积，从而实现利润最大化。为了实现利润最大化而计算每月的生产 额时必须考虑三个主要因素：生产成本、销售费用以及贮存费用。成 产成本包括固定成本和可变成本。 可变成本与生产台数和建材价格上 涨幅度有关，利用它们的关系写出表达式。销售费用与当月的销售额 成正比，得出销售费用金年会。而贮存费用和每月的销售额、生产额以及上 月库存有关，进而得出贮存费用表达式。由于数据不全，我们将利润 最大化转化为成本和费用最小。 综合以上的分析利用非线性规划建立 起动态模型，利用逆推解法和顺推解法进行求解。值得注意的是我们 将生产能力分为有限和无限两类情况。 当生产能力有限时：成本和费用之和为：3492.65（万） 生产计划：一月生产 33 台，二月生产 34 台，三月生产 31 台，四 月生产 31 台，五月生产 29 台，六月生产 29 台 当生产能力有限时（工厂每月生产量的上限为 33 台推土机）时：成 本和费用之和：3595.75（万） 生产计划：一月生产 22 台，二月生产 33 台，三月生产 33 台， 四月生产 34 台，五月生产 33 台，六月生产 33 台；或者一月生产 33 台，二月生产 22 台，三月生产 33 台，四月生产 33 台，五月生产 33 台，六月生产 33 台。